Problém vlastních čísel a jeho různá zobecnění

Jiří Šikola

Bachelor's thesis

Eigenvalue problem and its various generalizations

Abstract:

Cílem práce zpracovat základní poznatky týkající se úlohy vlastních čísel (čtvercových) matic, zejména věty o spektrálním, Schurově, resp. Jordanově rozkladu, a zavést základní pojmy jako je charakteristický polynom, průvodní matice polynomu, algebraická a geometrická násobnost vlastního čísla. V druhé části práce pak provedeme stručnou rešerši v matematické praxi nejčastěji se vyskytujících zobecnění úlohy vlastních čísel jako jsou např. klasický zobecněný problém vlastních čísel, kvadratický problém vlastních čísel, ale také na obecný polynomiální problém vlastních čísel. V případech, kde to bude možné bude naznačeno, jak k řešení zobecněné úlohy po teoretické stránce přistoupit (cílem práce není studium algoritmů pro řešení takových úloh).

Abstract:

The goal of this thesis is to collect basic knoweledge about the standard eigevalue problem for (square) matrices. In particular to recapitulate the theorems about spectral, Schur's and Jordan's decompositions while introducing the basic related objects like the characteristic polynomial, companion matrix of a polynomial, algebraic and geometric multiplicity of an eigenvalue. In the other part of theis thesis, we explore a few generalizations of the eigenvalue problem that are often studied in mathmatics. We focus on the classical generalized eigenvalue problem, the quadratic eigenvalue problem, and also on the general polynomial eigenvalue problem. We also briefly suggest, how to solve such generalized problems, but only from the theoretical point of view (we do not study practical real-world algoritms for solving such tasks).

Keywords

vlastní číslo, vlastní vektor, Schurův rozklad, Jordanův rozklad, Spektrální rozklad, problém vlastních čísel, zobecněný problém vlastních čísel, kvadratický problém vlastních čísel, polynomiální problém vlastních čísel

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 30. 4. 2020

Thesis defence

• Supervisor: doc. Ing. Martin Plešinger, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Science, Humanities and Education

Bachelor programme / field:
Mathematics / MA-IF