Higher-order algorithms for modelling of physical fields

Ing. Jakub ČERVENÝ

Doctoral thesis

Automatic hp-Adaptivity for Time-Dependent Problems

Abstract:

This dissertation focuses on the development of algorithms for automatically adaptive hp-FEM that can be used to solve both stationary and time-dependent partial differential equations (PDEs) in two spatial dimensions. The hp-FEM is an advanced version of the classical finite element method which employs elements of varying diameter h and polynomial degree p to obtain superior (exponential) convergence rates. However, the method puts high demands on its implementation and presents a~number of open problems. In this work we review the basics of 2D hp-FEM and then show how to extend a standard hp-FEM solver to support meshes with hanging nodes, which is a prerequisite for automatic hp-adaptation of the approximate solution. Our original algorithm and data structure enable the use of arbitrarily irregular meshes that can reduce both the size of the discrete problem and the complexity of the hp-adaptation algorithm. Practical implementation details and examples are included. Next we review several existing hp-adaptation strategies for stationary PDEs, in particular an existing algorithm based on the reference solution approach. We design a new algorithm that is both simpler and faster, while delivering better or comparable results, as we demonstrate on two standard benchmark problems. The next topic is the solution of systems of PDEs. We motivate the use of different meshes for different equations in the system and present an original algorithm for the assembly of the stiffness matrix of such multi-mesh systems. The goal is to save degrees of freedom and to prepare the solver for dynamic meshes in time-dependent PDEs. We test the implementation on a model problem of thermoelasticity. Finally, we use the new multi-mesh assembling and the adaptive Rothe method to obtain computations with meshes that can change with time, in order to speed up the solution of time-dependent problems that exhibit moving features in their solution. We develop an algorithm that automatically adjusts the mesh between successive time steps and test it on two nonlinear model problems from the areas of incompressible fluid flow and combustion physics.

Abstract:

Tato dizertace se zaměřuje na návrh algoritmů pro automaticky adaptivní hp-FEM pro účely řešení stacionárních i časově závislých parciálních diferenciálních rovnic (PDR) ve dvou prostorových rozměrech. Metoda hp-FEM je zdokonalená verze klasické metody konečných prvků, která využívá elementy různých poloměrů h a polynomiálních stupňů p k dosažení vynikající (exponenciální) rychlosti konvergence. Klade ovšem velké nároky na implementační stránku a přináší řadu otevřených problémů. V této práci shrnujeme základy hp-FEM ve 2D a poté popisujeme rozšíření standardního řešiče hp-FEM o podporu sítí s visícími uzly, která je předpokladem pro automatickou hp-adaptaci přibližného řešení. Náš původní algoritmus a datová struktura umožňují použití libovolně neregulárních sítí, jež mohou vést ke zmenšení diskrétního problému a ke zjednodušení algoritmu pro hp-adaptivitu. Popisujeme i praktické implementační detaily a příklady. Dále shrnujeme několik existujících strategií hp-adaptivity pro stacionární PDR, zejména existující algoritmus založený na tzv. referenčním řešení. Navrhujeme nový algoritmus, který je jednodušší a rychlejší, přičemž ale dosahuje lepších nebo srovnatelných výsledků, jak ukazujeme na dvou standardních testovacích problémech. Dalším tématem je řešení soustav PDR. Obhajujeme možnost použití různých sítí pro různé rovnice v soustavě a přinášíme původní algoritmus pro sestavení matice tuhosti takového systému (tzv. multi-mesh assembling). Cílem je úspora stupňů volnosti a příprava řešiče na dynamické sítě u časově závislých rovnic. Implementaci testujeme na modelovém příkladu z termoelasticity. Nový algoritmus pro multi-mesh assembling v závěru využíváme spolu s adaptivní Rotheho metodou k výpočtům na sítích, které se mohou měnit v čase, za účelem zrychlení řešení časově závislých problémů, které vykazují pohybující se úkazy v jejich řešení. Vyvíjíme algoritmus, který dokáže automaticky upravovat síť mezi jednotlivými časovými kroky a testujeme jej na dvou nelineárních modelových problémech z oblastí nestlačitelného proudění a fyziky hoření.

Keywords

parciální diferenciální rovnice, metoda konečných prvků vyšších řádů, hp-FEM, hierarchické prvky, aproximace s omezením, visící uzly, automatická adaptivita, referenční řešení, multi-mesh, časově závislé problémy, Rotheho metoda

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 11. 2011

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Prof. Ing. Ivo Doležel, CSc.

University of West Bohemia

Fakulty of Electrical Engineering

Doctoral programme / field:
Electrical Engineering and Informatics / Electrical Engineering