Some classes of basic algebras and related structures

Mgr. Jan KRŇÁVEK

Doctoral thesis

Abstract:

Disertační práce je věnována zejména tzv. basic algebrám, které byly zavedeny jako společné zobecnění MV-algeber a ortomodulárních svazů (v jazyce MV-algeber) a přirozeně vycházejí z ohraničených svazů s antitonními involucemi na sekcích (hlavních filtrech). Speciálním případem basic algeber jsou i svazové efektové algebry. Třída basic algeber je varieta, která může být axiomatizována identitami x+0=x, --x=x, -(-x+y)+y=-(-y+x)+x, -(-(-(x+y)+y)+z)+(x+z)=1. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. V první části kapitoly 1 je úvod k basic algebrám a svazům se sekčně antitonními involucemi. V druhé části se zabýváme basic algebrami, které splňují identity (C) x+(-x+y)=x+y, (M) x+(y^z)=(x^y)+(x^z). Motivace pro tyto identity je vysvětlena v sekci 1.3. Také dokážeme, že každá konečná basic algebra splňující (C) je MV-algebra. Druhá kapitola je věnována pre-ideálům basic algeber, tj. dolů uzavřeným podmnožinám, které jsou také uzavřené na +. Koncept pre-ideálů je poměrně obecný a pre-ideály nemusí splňovat některé žádané vlastnosti, např. pre-ideál nemusí být svazový ideál, a proto se především soustředíme na basic algebry splňující (M). Dokážeme, že svaz pre-ideálů Pr(A) takovéto basic algebry je algebraický distributivní svaz, který obsahuje svaz ideálů jako úplný podsvaz. Popíšeme pseudokomplementy a spojově ireducibilní prvky v Pr(A) a ukážeme, že Pr(A) patří do třídy IRN, tj. do třídy všech algebraických svazů, jejichž kompaktní prvky tvoří relativně normální podsvaz. V kapitole 3 zobecňujeme dobře známou ekvivalenci mezi MV-algebrami a unitálními svazově uspořádanými Abelovskými grupami, snažíme se objasnit vztah mezi (komutativními) basic algebrami a svazově uspořádanými komutativními lupami. Dokážeme, že v libovolné svazově uspořádané lupě na každém intervalu [0,u] můžeme zkonstruovat basic algebru, která je monotonní, ale nemusí být komutativní. Ukazujeme, že každá semilineární komutativní basic algebra je izomorfní s některou intervalovou basic algebrou [0,u] v kladném kuželu některé komutativní l-lupy. Také předvedeme nový příklad vlastní komutativní basic algebry, která je odvozena z lineárně uspořádané komutativní lupy. Ve čtvrté kapitole se budeme zabývat derivacemi na basic algebrách, kde derivací je myšleno aditivní zobrazení splňující d(x.y)=(d(x).y)+(x.d(y)). Podáme jednoduchou úplnou charakterizaci derivací; dokážeme, že d(x)=x^d(1) a že d je homomorfismus na intervalovou algebru [0,d(1)].

Abstract:

The thesis is primarily devoted to the so-called 'basic algebras' which were introduced as a by-product of an attempt to find a good common generalization of orthomodular lattices and MV-algebras. The class of basic algebras is a variety which may be axiomatized by the identities x+0=x, --x=x, -(-x+y)+y=-(-y+x)+x, -(-(-(x+y)+y)+z)+(x+z)=1. The thesis is divided into four chapters. The first part of Chapter 1 is an introduction to basic algebras and lattices with antitone involutions. In the second part, we deal with algebras satisfying the identities (C) x+(-x+y)=x+y, (M) x+(y^z)=(x^y)+(x^z). The motivation behind these identities is explained in Section 1.3. We prove that every finite basic algebra satisfying the identity (C) is an MV-algebra. Chapter 2 is devoted to pre-ideals of basic algebras, i.e. downwards closed subsets which are also closed under +. The concept of pre-ideal is quite general and pre-ideals may fail to have some desirable properties---for instance, a pre-ideal need not be a lattice ideal---and hence we focus mainly on basic algebras satisfying (M). We prove that the pre-ideal lattice Pr(A) of such a basic algebra is an algebraic distributive lattice which contains the ideal lattice as a complete sublattice. We describe the pseudocomplements and meet-prime elements in Pr(A) and we show that Pr(A) belongs to the class IRN of ideal lattices of the so-called relatively normal lattices. In Chapter 3, generalizing the well-known equivalence between MV-algebras and unital lattice-ordered Abelian groups, we try to shed light on the connections between (commutative) basic algebras and lattice-ordered commutative loops. First, we prove that in any lattice-ordered commutative loop L, every interval [0,u] can be made into a basic algebra which is monotone but need not be commutative. On the other hand, we prove that every semilinear commutative basic algebra is isomorphic to interval basic algebra [0,u] for a suitable lattice-ordered commutative loop L, where semilinearity means that the algebra is isomorphic to subdirect product of linearly ordered algebras. We generalize Chang's construction for linearly oredered algebras as well as Mundici's method of good sequences. We also present a new example of a proper commutative basic algebra which is derived from linearly ordered commutative loops. In Chapter 4, we deal with derivations on basic algebras, where by a derivation is meant an additive map satisfying d(x.y)=(d(x).y)+(x.d(y)) or, which turns out to be the same, d(x.y)=(x.d(y))+(d(x).y). We give a simple complete characterization of derivations; we prove that d(x)=x^d(1) and that d is actually a homomorphism onto the interval algebra [0,d(1)].

Keywords

basic algebra, pre-ideál, komutativní svazově uspořádané lupy, derivace, dobrá funkce, kladná divisibilní pololupa, MV-algebra, svazová efektová algebra

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 26. 3. 2015

Accessible from:: 26. 3. 2015

Thesis defence

• Supervisor: doc. RNDr. Jan Kühr, Ph.D.

PALACKÝ UNIVERSITY IN OLOMOUC

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Algebra and Geometry