Nezáporné lineární operátory a jejich využití v ekonometrických a statistických modelech

Richard Horský

Doctoral thesis

Non-negative linear operators and their use in econometric and statistic models

Abstract:

Nezáporné operátory, speciálně nezáporné matice, jsou již od počátku dvacátého století zajímavým tématem, kterému se věnuje řada vědců a výzkumných týmů. Není divu, neboť se objevuje celá řada možných aplikací v oblastech jako jsou ekonomie, statistika, operační výzkum (lineární programování) nebo computer science. Uveďme jako konkrétní příklad teorii Markovových řetězců, ve kterých vystupují jako tzv. matice přechodu jisté nezáporné matice označované jako matice stochastické. Jiným příkladem, tentokrát nezáporného operátoru v nekonečně dimensionálním prostoru je tzv. operátor zpětného posunutí, běžně užívaný v teorii stochastickýh procesů. Nezápornost v uvedených příkladech je nezápornost po prvcích. Jiným typem nezápornosti je nezápornost ve smyslu skalárního součinu. U matic hovoříme o pozitivní definitnosti, resp. semidefinitnosti. Typickými příklady jsou kovarianční matice náhodného vektoru nebo symetrizace jakéhokoli lineárního operátoru, např. diference. Jinou zajímavou oblastí problémů jsou tzv. inverzní problémy nebo špatně podmíněné úlohy. První práce spojené s touto problematikou se objevily v první polovině dvacátého století. Problematika byla spojena s úlohami kvantové teorie, geofyziky, astronomie apod. Jelikož žijeme v době výkonných počítačů, možnosti aplikací teorie inverzních a špatně podmíněných úloh nacházíme téměř ve všech oblastech vědy, kde se používají matematické metody. Špatně podmíněné úlohy jsou nestabilní a je třeba je regularizovat, aby bylo možné říci něco o jejich řešení. Typickým příkladem takové regularizace může být stacionarizace stochastického procesu diferencováním. Při řešení integrálních rovnic, kde vystupují kompaktní operátory, je problém nestability řešen různými metodami vyvíjenými a vylepšovanými již po několik desetiletí. Jsou jimi vedle metody zaokrouhlené singulární dekompozice, zejména Tichonovova regularizační metoda či Landweberova iterační metoda. Matematické nástroje, které jsou v této práci použity jsou především pojmy funkcionální analýzy a jejich vlastnosti. Ve funkcionální analýze se setkávají rozmanité matematické struktury studované v rámci jednotlivých matematických disciplín jako jsou matematická analýza, topologie, teorie množin, algebra (zejména lineární) a teorie míry (pravděpodobnosti). Propojením struktury linearity, topologie a měřitelnosti získáváme bohatou strukturu, v rámci níž je na jedné straně možno se dívat na klasicky definované pojmy novým jednotícím způsobem a na druhé straně tím odhalit interakce mezi zdánlivě různými problémy a tak získat ucelený náhled na zdánlivě rozdílnou problematiku.

Abstract:

Non-negative operators, in special case non-negative matrices, are an interesting topics for many scientists and scientific teams from the beginning of the 20th century. It is not suprising because there are a lot of applications in different areas of science like economy, statistics, linear programming, computer science and others. We can give as the particular example the theory of the Markov chains in which we deal with non-negative matrices, so called transition matrices. They are of the special form and we called them stochastic matrices. Another example is given by the non-negative operator on spaces of infinite dimension which is employed in the theory of stochastic processes. It is the backward shift operator called the lag operator as well. The non-negativity in these examples is considered as the piecewise non-negativity. Another type of non-negativity is that in the sense of inner products. In the case of matrices we talk about positive-definite or positive-semidefinite matrices. A typical example is the covariance matrix of a random vector or symmetrization of any linear operator, for instance the symmetrization of the difference operator. The terms inverse problem or ill-posed problem have been gaining popularity in modern science since the middle of the last century. The subjects of the first publications in this area were related to quantum scattering theory, geophysics, astronomy and others. Thanks to powerful computers the chances for applications of the theory of inverse and ill-posed problems has extended in almost all fields of science which use mathematical methods. Ill-posed problems bear the feature of instability and there is the need of regularization if we want to get some reasonable solution. A typical example of the regularization is the differencing of stochastic process with the purpose to obtain a stationary process. Another concept of regularization used for solving e.g. integral equations with compact operators consists in application of regularization method as truncated singular value decomposition, Tichonov regularization method or Landweber iteration method. Mathematical tools employed in this work are those of the functional analysis. It is the area of mathematics in which distinct mathematical structures meet each other. They are structures built within different mathematical disciplines as mathematical analysis, topology, theory of sets, algebra (mainly linear algebra) and theory of measure (probability). The functional analysis framework enables us to obtain right formulations of definitions and problems providing the general view on the notions and problems of the theory of stochastic processes.

Keywords

stochastický proces, spektrální teorie operátorů, nezáporný operátor

Keywords

stochastic process, spectral theory, non-negative operator

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 30. 9. 2008

Thesis defence

• Date of defence: 14. 9. 2015
• Supervisor: Josef Arlt
• Reader: Michal Vrabec, Martin Klazar

Vysoká škola ekonomická v Praze

Doctoral programme / field:
Kvantitativní metody v ekonomice / Statistika