Volatility Smile and Delta Hedging

Anatoly Stolbov

Master's thesis

Volatilní úsměv

Abstract:

Diplomová práce popisuje a aplikuje dva alternativní opční modely, které částečně vysvětlují diskrepanci mezi Black-Scholesovým modelem a reálným světem pomocí zobecnění stochastického procesu. Skupina modelů se stochastickou volatilitou je zastoupena Hestonovým modelem, model SVJ navíc přidává skoky v ceně podkladového instrumentu. Tato zobecnění vysvětlují diskrepanci mezi Black-Scholesovým modelem a reálným světem pomocí zobecnění stochastického procesu. Skupina modelů se stochastickou volatilitou je zastoupena Hestonovým modelem, model SVJ navíc přidává skoky v ceně podkladového instrumentu. Tato zobecnění vysvětlují konvexní tvar implikované volatility vzhledem k realizační ceně a její heterogenní časovou strukturu. Modely byly kalibrované na ceny měnových opcí EURUSD pozorovaných 23. ledna roku 2015. Díky většímu počtu odhadovaných parametrů model SVJ dokázal poskytnout lepší shodu s daty ve srovnání s Hestonovým modelem, nejvíce patrnou na volatelním úsměvu se střední dobou do exspirace. Jeho odhadnuté rizikově-neutrální parametry však byly velmi vzdálené realistickým statistickým hodnotám. Odhad parametrů předpokládal nulovou dlouhodobou volatilitu a dvěma skoky ceny během roku se střední amplitudou 6 %. Oba modely poskytly srovnatelnou shodu s časovou strukturou implikované volatility a volatelným úsměvem s dlouhou exspirací. Uspokojivou shodu s krátkodobým volatilním úsměvem neposkytnul žádný z modelů. Analýza alternativních delt vyhodnocuje zajišťovací schopnost minimum variance delta, delty doporučené Nasimem Talebem a delty korigované s předpokladem lokální volatility. Na datech pro měnové opce EURUSD z období od 1. ledna 2014 do 30. května 2015 se nepodařilo prokázat konzistentní a signifikantní redukci rizika s využitím jakoukoliv z alternativ oproti klasickému přístupu podle Black-Scholesova modelu.

Abstract:

The thesis describes and applies two parametric option pricing models which partially ease the well-known discrepancy between real world and Black-Scholes model. Stochastic volatility and jumps encompassed by Heston and SVJ models explain implied volatility smile and its heterogeneous term-structure. Both models are calibrated to market data observed for EURUSD currency options on January 23, 2015. While SVJ model provided a better fit for the market, especially for mid-term expiry smile curvature, its estimated risk-neutral parameters were unrealistic comparing with their counterparts under statistical measure. Estimations suggest zero long term price volatility and 2 jumps during the year with average magnitude of 6 \%. Both models failed to match curvature of short time to expiry smile and provided a good fit of term-structure and long-expiry smile. Analysing delta ratios adjusted for non-constant volatility as a possible alternatives the study considered minimum variance delta estimated with Heston model, delta ratio recommended by Nassim Taleb and two deltas adjusted for local volatility assuming sticky moneyness and sticky tree dynamics of implied volatility. On data set of EURUSD options from 1.1.2014 to 30.5.2015, our research did not find any alternative which would be more reliable than common Black-Scholes delta.

Keywords

zajištění, volatilita, opce

Keywords

hedging, options, volatility smile

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 20. 5. 2014

Thesis defence

• Date of defence: 7. 6. 2016
• Supervisor: Jiří Witzany
• Reader: Milan Fičura

Vysoká škola ekonomická v Praze

Master programme / field:
Finance a účetnictví / Finanční inženýrství