Reprezentační techniky v geometrii a analýze

Bc. Martin Doležal

Diplomová práce

Representational techniques in geometry and analysis

Anotace:

V této diplomové práci zkoumáme systém dvou koulí, z nichž jedna se valí po druhé, z pohledu sub-Riemannovské geometrie. Tento systém ztotožníme s varietou a valivé pohyby ztotožníme s trajektoriemi na této varietě. S touto identifikací jsme schopni určit ty pozice systému, mezi kterými můžeme přecházet valením koule. K tomu využijeme Chow-Rashevského větu, kterou v textu celou dokážeme. Dále představíme základní pojmy sub-Riemannovské geometrie a ukážeme, jak počítat vzdálenosti mezi pozicemi systému. Mnoho výpočtů je provedeno programem Maple s použitím balíčku DifferentialGeometry a lze je najít v dodatku.

Abstract:

In this thesis, we study a system of two balls, where one rolls on the other, from a sub-Riemannian geometry viewpoint. We will identify the system with a manifold and the rolling motions with trajectories in this manifold. With this identification, we are able to determine positions of the system between which we can move by rolling motions. It will follow from Chow-Rashevskii theorem which will be completely proven. We also show some basic concepts of sub-Riemannian geometry and show how to compute distances between positions of the system. A lot of things is also computed in Maple with using of the DifferentialGeometry package, see the appendix.

Keywords

sub-Riemannovská geometrie, Hamiltonovské rovnice, kritické křivky pro energii, homogenní prostor, Lieovy grupy, Lieovy algebry, grupy symetrií, sub-Riemannian geometry, Hamiltonian equations, energy minimizers, homogeneous space, Lie groups, Lie algebras, symmetry groups

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 16. 5. 2017

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 16. 6. 2017
• Vedoucí: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc.
• Oponent: Mgr. Lenka Zalabová, Ph.D.

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Magisterský studijní program / obor:
Matematika / Algebra a diskrétní matematika