Grupy a krystalografické soustavy

Mgr. Marie Šťovíčková

Bachelor's thesis

Groups and Crystallographic Systems

Abstract:

Grupa je speciálním typem algebraické struktury s jednou binární algebraickou operací. Jedná se o libovolnou neprázdnou množinu G, na které je definovaná uzavřená a asociativní operace a v množině G existuje vzhledem k operaci prvek neutrální a ke každému prvku této množiny také prvek inverzní. Tato obecná struktura má spoustu modelů, z nichž některé popisujeme. Jednou z důležitých aplikací grup nalezneme v krystalografii. Krystal lze popsat pomocí krystalografické mřížky, což je geometrická abstrakce krystalu. Krystalová mřížka je tvořena mřížkovými (uzlovými) body. Krystaly se podle krystalické mřížky dělí do několika krystalografických soustav. V krystalech existují symetrie. Mezi základní symetrie patří středová souměrnost, rovinová souměrnost, rotace kolem n-četné rotační osy a n-četné inverzní rotační osy. Existuje 32 bodových (krystalografických) grup symetrie. Podrobně popisujeme jednu z nich, a to bodovou grupu O vlastních rotací krychle.

Abstract:

A group is a special instance of algebraic structure with one algebraic operation. It is an arbitrary non-empty set G with an closed associative operation. An identity element with respect to the operation exists in G. Furthermore each element of G has an inverse element. We will be dealing with some of the models this general structure features. One of the major applications of grout theory is in crystallography. A crystal can be denoted with a crystal grid, which is composed of nodes. Crystals are divided to crystallographic systems based on the crystal grid. Most basic symmetries are point reflection, plane reflection, n-axis rotation and n-axis inverse rotation. There are 32 point groups of symmetry. We will be dealing with one, more specifically the point group O of eigenrotation of a cube.

Keywords

Množina, kartézský součin, relace, zobrazení, binární algebraické operace, grupa, komutativní, asociativita, euklidovská grupa, shodné transformace, posunutí (translace), otočení (rotace), identita, osa souměrnosti, středová souměrnost, prvky symetrie, podgrupy, bodové grupy, krystalografické soustavy. Set, Cartesian product, relation, projection, binary algebraic operations, group, commutative, associativity, Euclideau group, operation identity, identical transformations, translation, rotation, identity, axis of symmetry, rotational symmetry, symmetry elements, subgroups, point groups, crystallographic systems.

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 16. 4. 2010

Thesis defence

• Date of defence: 7. 6. 2010
• Supervisor: PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D.
• Reader: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.

Masaryk University

Faculty of Education

Bachelor programme / field:
Specialization in Education / Lower Secondary School Teacher Training in Mathematics