Supersymetric Gauge Theory and String Theory

Mgr. Anna Campbellová, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Supersymetrie je symetrie, která zcela zásadně zuźuje možnosti teorie. Jedním z důsledků této skutečnosti jsou požadavky na efektivní akci. Pro N = 2 supersymetrickou Yangovu-Millsovu teorii je efektivní akce dána jedinou holomorfní funkcí, což spolu s elektromagnetickou dualitou umožňuje najít její explicitní tvar. Efektivní akce je popsána pomocí eliptické křivky a vhodných integrálů - tzv. period, které popisují skalární pole a duální skalární pole. Všechny tyto objekty závisí na jednom či více kalibračně invariantních parametrech, jež popisují teorii, tzv. modulech. Popis efektivní akce je založen na magnetických monopolech. Pomocí Bogomolnyiho- Prasadova-Sommerfieldova monopolu lze zkombinovat vztah mezi periodami a moduly na jedné straně a mezi skalárním polem a souřadnicemi v prostoru na straně druhé. V této práci je studována prostorová závislost modulů pro N = 2 supersymetrickou Yangovu-Millsovu teorii s kalibračními grupami SU(2) a SU(3). Nejdříve je odvozena diferenciální rovnice prvního řádu pro SU(2) a vlastnosti jejich řešení jsou zkoumány numericky i analyticky. Řešení lze podle chování rozdělit do několika skupin. Toto rozdělení se vztahuje i na chování elektrických a magnetických polí a na hustotu energie. Pro SU(3) je nutno nejdříve zobecnit postup použitý pro SU(2). Poté jsou odvozeny diferenciální rovnice pro moduly. Prostor modulů je větší než v případě SU(2) a je obtížnější jej znázornit. Byly vybrány vhodné příklady křivek marginální stability, které jsou reprezentativní a lze je vizualizovat v trojrozměrném prostoru. Dále jsou ukázány vhodné příklady řešení diferenciálních rovnic, jež lze rovněž dobře znázornit.

Abstract:

Supersymmetry is a powerful symmetry that imposes severe restrictions on the theory. One of the consequences is the restriction on the effective action. For N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory the effective action is given by a single holomorphic function. This fact together with electromagnetic duality can be combined to find the explicit form of the effective action. The effective action is described in terms of an elliptic curve and suitable period integrals, which describe the scalar field and its dual field. All of these objects depend on one or several moduli - gauge invariant parameters that describe the theory. The description of the effective action uses extensively magnetic monopoles. The Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield monopoles can be used to combine the relationship between the period integrals and moduli on one hand, and the spatial dependence of the scalar field on the other to find the spatial dependence of the moduli themselves. In this text the spatial dependence of the moduli is studied for N = 2 super-Yang- Mills theories with gauge groups SU(2) and SU(3). To begin with, a first order differential equation for the modulus of SU(2) is derived and the solutions are studied both numerically and analytically. The solutions can be divided into several groups according to their behavior. The different types of behavior also affect the magnetic and electric field as well as the energy density function. For SU(3) it is necessary to generalize the procedure used for SU(2). After that a system of differential equations is derived for the moduli. The moduli space is larger than for SU(2), and more difficult to visualize. Suitable examples of curves of marginal stability were chosen which are both representative and can be presented also in three dimensional space. Suitable numerical solutions to the differential equations which can be easily visualized are presented as well.

Keywords

quantum field theory, N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory, magnetic monopoles, kvantová teorie pole, N = 2 supersymetrická Yangova- Millsova teorie, magnetický monoopol

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 11. 8. 2010

Thesis defence

• Date of defence: 25. 10. 2010
• Supervisor: prof. Rikard von Unge, Ph.D.
• Reader: prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D., prof. Ulf Lindström, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Physics (4-years) / Theoretical Physics and Astrophysics