Využití teorie extrémních hodnot při řízení operačních rizik

Jan Vojtěch

Doctoral thesis

Extreme Value Theory in Operational Risk Management

Abstract:

Práce se zabývá analýzou a kvantifikací ztrát z tzv. operačních rizik, kterým jsou v důsledku svých činností vystaveny tuzemské i zahraniční bankovní domy. Hlavním cílem je konstrukce vhodného statistického modelu pro výpočet tzv. kapitálového požadavku, který zohledňuje specifika ztrát vznikajících z operačních rizik. Stěžejní úlohu tak představuje hledání vhodného rozdělení, které dostatečně výstižně popisuje pravděpodobnostní chování ztrát, především existenci tzv. těžkých chvostů. Jsou využity závěry tzv. Pickandsova-Balkemova-de Haanova teorému teorie extrémních hodnot. Podle tohoto teorému rozdělení náhodné veličiny přesahující určitý, dostatečně vysoký práh, konverguje v distribuci k zobecněnému Paretovu rozdělení. Toho je následně využito při odhadu kvantilových charakteristik simulovaného rozdělení výše celkové ztráty. Toto simulované rozdělení je kombinací pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny, která představuje výši individuální ztráty, a pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny, kterou je počet výskytů těchto ztrát. Pomocí navrženého modelu tak nalezneme finální kvantil představující kapitálový požadavek. Jedná se o velikost peněžních prostředků, které banka musí držet, aby pokryla maximální ztrátu, která nebude překročena s předem danou pravděpodobností. V případě operačních rizik je tato pravděpodobnost z regulatorních důvodů velmi vysoká. Přestože kombinace pravděpodobnostního rozdělení výše individuální ztráty a rozdělení počtu výskytů těchto ztrát bývají užívány relativně často, jejich konečná aplikace bývá problematická. V případě rozdělení výše individuální ztráty jde např. o nějakou kombinaci dvou nebo tří logaritmicko-normálních rozdělení s různými parametry. Takovéto modely však nemívají hlubší teoretickou oporu a především metody spojení distribučních funkcí těchto rozdělení nebývají korektní. V této práci navrhneme řešení, ve kterém se takové problémy nevyskytují. Navíc jsou odvozeny speciální, maximálně věrohodné odhady logaritmicko-normálního rozdělení, pro které platí F_LN(u)=p, kde u a p je předem dané. Výsledky dosažené v práci mohou být využity v praxi bankovních domů pro ohodnocení a řízení ztrát z operačních rizik. Mohou však být také použity při zpracování různých druhů výběrových dat, která vykazují těžké chvosty, pro jejichž popis nejsou standardní rozdělení vhodná. Nedílnou součástí disertační práce je také přiložené CD, které obsahuje zdrojové kódy jednotlivých funkcí a procedur vytvořených ve statistickém programovacím jazyce softwaru S-PLUS. V samostatné příloze disertační práce je rovněž kompletní popis účelu a syntaxe většiny vytvořených funkcí, z nichž nemalá část může být využita při řešení samostatných úloh.

Abstract:

Currently, financial institutions are supposed to analyze and quantify a new type of banking risk, known as operational risk. Financial institutions are exposed to this risk in their everyday activities. The main objective of this work is to construct an acceptable statistical model of capital requirement computation. Such a model must respect specificity of losses arising from operational risk events. The fundamental task is represented by searching for a suitable distribution, which describes the probabilistic behavior of losses arising from this type of risk. There is a strong utilization of the Pickands-Balkema-de Haan theorem used in extreme value theory. Roughly speaking, distribution of a random variable exceeding a given high threshold, converges in distribution to generalized Pareto distribution. The theorem is subsequently used in estimating the high percentile from a simulated distribution. The simulated distribution is considered to be a compound model for the aggregate loss random variable. It is constructed as a combination of frequency distribution for the number of losses random variable and the so-called severity distribution for individual loss random variable. The proposed model is then used to estimate a fi -nal quantile, which represents a searched amount of capital requirement. This capital requirement is constituted as the amount of funds the bank is supposed to retain, in order to make up for the projected lack of funds. There is a given probability the capital charge will be exceeded, which is commonly quite small. Although a combination of some frequency distribution and some severity distribution is the common way to deal with the described problem, the final application is often considered to be problematic. Generally, there are some combinations for severity distribution of two or three, for instance, lognormal distributions with different location and scale parameters. Models like these usually do not have any theoretical background and in particular, the connecting of distribution functions has not been conducted in the proper way. In this work, we will deal with both problems. In addition, there is a derivation of maximum likelihood estimates of lognormal distribution for which hold F_LN(u) = p, where u and p is given. The results achieved can be used in the everyday practices of financial institutions for operational risks quantification. In addition, they can be used for the analysis of a variety of sample data with so-called heavy tails, where standard distributions do not offer any help. As an integral part of this work, a CD with source code of each function used in the model is included. All of these functions were created in statistical programming language, in S-PLUS software. In the fourth annex, there is the complete description of each function and its purpose and general syntax for a possible usage in solving different kinds of problems.

Keywords

teorie extrémních hodnot, operační riziko, hodnota v riziku, Monte Carlo simulace, rozdělení extrémních hodnot

Keywords

extreme value distribution, operational risk, Monte Carlo simulation, extreme value theory, value at risk

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 15. 10. 2009

Thesis defence

• Date of defence: 7. 9. 2011
• Supervisor: Jana Kahounová
• Reader: Hana Řezanková, Martina Orsáková

Vysoká škola ekonomická v Praze

Doctoral programme / field:
Kvantitativní metody v ekonomice / Statistika