Categorical Operads and Operadic Categories

Mgr. Dominik Trnka, Ph.D.

Disertační práce

Anotace:

Práce zkoumá kompoziční principy z kategoriálního hlediska. V první části neformálně představujeme kompoziční struktury a rámec operadických kategorií. Druhá část zavádí definici operády obarvené malou kategorií v Marklově stylu. Pokud je operáda vybavena jednotkou, je ekvivalentní substitůdu Daye a Streeta. Ukazujeme, že operády obarvené kategorií jsou interními algebrami určité kategoriální operády funktorů. Popisujeme grupoidem obarvenou kvadratickou binární operádu, jejíž algebry jsou neunitální Marklovy operády v kontextu operadických kategorií. Jako vedlejší výsledek uvádíme konstrukci volné interní operády. V třetí části zavádíme unární operadické 2-kategorie jako rámec pro Grothendieckovu konstrukci kategoriálních O-operád, kde O je unární operadická kategorie. Tato konstrukce dává plně věrný funktor I, který posílá kategoriální O-operády na operadické funktory s kodoménou O. Charakterizujeme jeho esenciální obraz pomocí vlastností zvedání, a zavádíme tak pojem operadických fibrací. Naše teorie je rozšířením diskrétního (unárního) případu a v jistém smyslu klasické Grothendieckovy konstrukce kategoriálního předsvazku. Pro terminální unární operadickou kategorii T je kategoriální T-operáda striktní monoidální kategorií V a její Grothendieckova konstrukce I(V) souvisí s tzv. `para' konstrukcí, jež se používá v oblasti strojového učení. 2-kategoriální rámec umožňuje charakterizaci O-operád s hodnotami ve V jakožto operadických funktorů z O do I(V). Nakonec popisujeme levý adjunkt k I v případě terminální unární operadické kategorie T.

Abstract:

The thesis studies compositionality from categorical perspective. In Part I we give an informal introduction to compositional structures and the framework of operadic categories. In Part II we present a Markl-style definition of operads colored by a small category. In the presence of a unit these are equivalent to substitudes of Day and Street. We show that operads colored by a category are internal algebras of a certain categorical operad of functors. We describe a groupoid-colored quadratic binary operad, whose algebras are non-unital Markl operads in the context of operadic categories. As a by-product we describe the free internal operad construction. In Part III we introduce unary operadic 2-categories as a framework for the Grothendieck construction for categorical O-operads, O being a unary operadic category. The construction is a fully faithful functor I which takes categorical O-operads to operadic functors with codomain O, and we characterize its essential image by certain lifting properties. The operadic functors in the essential image are called operadic fibrations. Our theory is an extension of the discrete (unary) operadic case and, in some sense, of the classical Grothendieck construction of a categorical presheaf. For the terminal unary operadic category T, a categorical T-operad is a strict monoidal category V and its Grothendieck construction I(V) is connected to the `para' construction appearing in machine learning. The 2-categorical setting provides a characterization of O-operads valued in V as operadic functors from O to I(V). Lastly, we describe a left adjoint to I in the case of the terminal unary operadic category T.

Keywords

operad, operadic category, composition, shape, colored operad, hyperoperad, Grothendieck construction, fibration

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 6. 3. 2025

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 18. 6. 2025
• Vedoucí: RNDr. Martin Markl, DrSc.
• Oponent: PhD Florian De Leger, Assoc. Prof. Benjamin Ward

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Doktorský studijní program / obor:
Matematika a statistika / Geometrie, topologie a geometrická analýza