Mnohorozměrné zobecněné lineární modely

Mgr. Zuzana Hübnerová, Ph.D.

Doctoral thesis

Multivariate generalized linear models

Abstract:

Předložená dizertační práce je věnována vlastnostem mnohorozměrných zobecněných lineárních modelů, větší pozornost je věnována silám testů lineárních hypotéz o parametrech těchto modelů. Práce obsahuje šest kapitol a tři dodatky. Kapitola 1 je věnována vybraným pojmum z teorie maximální věrohodnosti. V kapitole 2 jsou uvedena tvrzení o hustotách exponenciálního typu. Mimo jiné jsou odvozeny předpoklady zajišťující regularitu hustot exponenciálního typu. Vedle vlastností nejčastěji studovaného mnohorozměrného rozdělení exponenciálního typu, kterým je rozdělení multinomické, jsou odvozeny i vlastnosti v literatuře opomíjeného Wishartova a transformovaného Dirichletova rozdělení. V kapitole 3 je poté v souladu s monografií (Fahrmeir, 1994) definován mnohorozměrný zobecněný lineární model (MGLM). Dále jsou uvedena vybraná tvrzení o asymptotických vlastnostech modelu z článku (Fahrmeir, 1985), jejichž důkazy jsou oproti článku detailněji rozepsány. V kapitole 3 jsou též odvozeny asymptotické oblasti spolehlivosti pro vektor kontrastu parametrů modelu a jsou popsány testové statistiky běžně užívané v MGLM k testování lineárních hypotéz o parametrech modelu. Kapitola je uzavřena ukázkou užití modelu při genetické predikci rizika sepse u dětských pacientů. Následující kapitoly jsou věnovány aproximacím sil testů lineárních hypotéz o parametrech MGLM. V kapitole 4 je pozornost věnována aproximacím sil testu hypotézy proti posloupnosti Pitmanových lternativ. Postup takové aproximace je detailněji odvozen v dodatku C. Kapitola 5, ve které jsou zobecněny publikované výsledky autora dizertace, se naopak zabývá aproximací sil v MGLM typu vyváženého jednoduchého třídění. Zde jsou na rozdíl od předchozí kapitoly odvozeny aproximace sil testu hypotézy proti pevné alternativě. V kapitole 6 jsou pak oba možné přístupy aproximace v MGLM typu vyváženého jednoduchého třídění porovnány a to především pomocí simulačních studií v modelech s multinomickým, Wishartovým, transformovaným Dirichletovým, binomickým, Poissonovým, gama a negativně binomickým rozdělením. Výpočty uvedené v dizertační práci byly provedeny pomocí k tomu účelu sepsaných programů v MATLABU, které lze nalézt na přiloženém CD. Literatura Fahrmeir, Ludwig, Kaufmann, Heinz. Consistency and Asymptotic Normality of the Maximum Likelihood Estimator in Generalized Linear Models. The Annals of Statistics, Mar. 1985, Vol. 13, No. 1, s. 342-368. Fahrmeir, Ludwig, Tutz, Gerhard. Multivariate Statistical Modelling Based on Generalized Linear Models. New York: Springer - Verlag, 1994. ISBN 0387942335.

Abstract:

Submitted dissertation focuses on properties of multivariate generalized linear models, special attention is paid to powers of tests of linear hypothesis on parameters of these models. The dissertation consists of six chapters and three appendixes. Chapter 1 is dedicated to selected terms in the theory of maximum likelihood. Prepositions on properties of distribution from exponential family are considered in chapter 2. Assumptions assuring regularity of corresponding density function are derived among other things. Beside the properties of the most frequently studied multivariate distribution from exponential family, the multinomial distribution, properties of Wishart and transformed Dirichlet distribution are introduced. Afterwards, the multivariate generalized linear model (MGLM) is defined according to the monograph (Fahrmeir, 1994). Selected theorems on asymptotic properties of the model from paper (Fahrmeir, 1985) are included in chapter 3. Their proofs are performed in more details in contrast to the paper. Asymptotic confidence sets for vector of contrasts of parameters of MGLM are also derived. Finally, test statistics usually used for test of the linear hypothesis on parameters of MGLM are introduced in this chapter. Chapter 3 is concluded by application of model in genetic prediction of sepsis in children patients. Following chapters are dedicated to approximations of powers of the tests of linear hypothesis on parameters of MGLM. In chapter 4, attention is paid to approximations of powers of the tests of hypothesis against sequence of Pitman alternatives. Technique of these approximations is derived in appendix C in more details. Conversely, chapter 5, in which published results of the author of dissertation are generalized, deals with approximations of powers of tests in balanced one-way ANOVA type MGLM. Here, the powers of test of hypothesis against fixed alternative are considered in contrast to the previous chapter. Both approaches to approximations of the powers in balanced one-way ANOVA type MGLM are compared in chapter 6, especially by simulation studies in MGLM with multinomial, Wishart, transformed Dirichlet, binomial, Poisson, gamma and negative binomial distribution. Calculations presented in the dissertation were carried out using MATLAB programs, which are to be found on enclosed CD. References Fahrmeir, Ludwig, Kaufmann, Heinz. Consistency and Asymptotic Normality of the Maximum Likelihood Estimator in Generalized Linear Models. The Annals of Statistics, Mar. 1985, Vol. 13, No. 1, s. 342-368. Fahrmeir, Ludwig, Tutz, Gerhard. Multivariate Statistical Modelling Based on Generalized Linear Models. New York: Springer - Verlag, 1994. ISBN 0387942335.

Keywords

Mnohorozměrné zobecněné lineární modely, Deviance, Waldova statistika, Skórová statistika, Síla testu, Pitmanův přístup Multivariate Generalized Linear Model, Wald Statistic, Score Statistic, Power of the Test, Pitman Approach

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 22. 9. 2006

Thesis defence

• Date of defence: 22. 9. 2006
• Supervisor: doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Probability and Mathematical Statistics