Systems with concave-convex nonlinearities: existence and multiplicity of solutions

Mgr. Martin KUDLÁČ

Advanced ('rigorózní') thesis

Abstract:

Tato práce se zabývá okrajovou úlohou pro systém dvou obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu s konkávními a konvexními nelinearitami a Dirichletovými okrajovými podmínkami. Jedna z rovnic obsahuje kladný parametr $\lambda$. Cílem práce je vyšetřit existenci a násobnost netriviálních řešení úlohy na základě hodnot parametru $\lambda$. Práce nejprve prezentuje výsledky numerických experimentů, díky nimž čtenář získá představu o chování zadaného systému. Stěžejním výsledkem této části je bifurkační diagram, který vykresluje závislost počtu netriviálních řešení na hodnotách parametru $\lambda$. Ve zbytku práce jsou pak poznatky získané z numerických experimentů dokazovány analyticky. K získání výsledků je použita alternativní formulace úlohy pomocí jedné obyčejné diferenciální rovnice čtvrtého řádu s Navierovými okrajovými podmínkami. Pomocí variačních metod je nalezen omezený interval pro parametr $\lambda$ tak, aby úloha měla s jistotou alespoň dvě různá netriviální řešení. V závěru práce jsou získané analytické výsledky porovnány s výsledky numerických experimentů.

Abstract:

This paper deals with a BVP for a system which consists of two ordinary differential equations of the second order with concave and convex nonlinearities and Dirichlet boundary conditions. One of the equations contains a positive parameter $\lambda$. The aim of this work is to examine existence and multiplicity of nontrivial solutions of the system based on values of the parameter $\lambda$. The paper presents results of numerical experiments which describe the behaviour of the system. The key result of this section is a bifurcation diagram which shows dependence of multiplicity of nontrivial solutions on values of the parameter $\lambda$. In the rest of the work, we tackle rigorously several of the features revealed by the numerical experiments. For this purpose, the problem is described using a single ordinary differential equation of the fourth order with Navier boundary conditions. Using variational methods, an appropriate bounded range for $\lambda$ is found such that the problem has at least two distinct nontrivial solutions. At the end of the work, the analytical results are compared with the results obtained from the numerical experiments.

Keywords

okrajová úloha, parametr, systém obyčejných diferenciálních rovnic, Mountain Pass, existence a~násobnost řešení, bifurkační diagram

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 2. 10. 2023

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Advanced ('rigorózní řízení') programme / field:
Rigorózní řízení - Matematika a její aplikace / Rigorózní řízení - Matematika a její aplikace