Obyčejné diferenciální rovnice se singularitami: singulární Cauchy-Nicolettiho úloha

Bc. Jiřina Šišoláková

Master's thesis

Ordinary differential equations with the singularities the singular problem of Cauchy-Nicoletti

Abstract:

Práce se zabývá obyčejnými diferenciálními rovnicemi, konkrétně tzv. singulárními okrajovými úlohami pro tyto rovnice. Pro obecně nelineární systém obyčejných diferenciálních rovnic je zde formulována tzv. singulární Cauchy-Nicolettiho úloha a pro ni jsou dokázány věty o existenci a jednoznačnosti řešení. Jisté alternativě důkazu věty o existenci řešení je pak věnována poměrně velká pozornost. V jedné jeho části lze totiž aplikovat moderní prostředky matematické analýzy, které nahrazují tradiční postup v obdobných situacích. Dále je uvedena obecnější okrajová úloha, z níž je možné speciálními volbami získat uvažovaný singulární Cauchy-Nicolettiho problém, a je také shrnuto, za jakých podmínek má taková úloha vůbec řešení, resp. jednoznačné řešení. Pro přehlednost je text rozčleněn do tří kapitol, z nichž ta stěžejní, 3. kapitola, je rozdělena do pěti podkapitol. Nejprve jsou uvedena použitá označení a připomenuty definice používaných matematických pojmů včetně použitých tvrzení. Významy singularit v teorii obyčejných diferenciálních rovnic jsou pak hlavním tématem 2. kapitoly. Třetí kapitola obsahuje základní a nejdůležitější část této diplomové práce, singulární Cauchy-Nicolettiho problém zároveň s obecnější okrajovou úlohou, ze které je možné klasický problém tohoto typu obdržet. Na závěr této kapitoly jsou zařazeny příklady ilustrující předloženou teorii. Poslední část textu tvoří Doplněk, v němž je modifikován důkaz věty o existenci řešení singulární Cauchy-Nicolettiho úlohy, která je zde uvažována jako speciální případ nelineární okrajové úlohy.

Abstract:

Work deals with ordinary differential equations, in the concrete so-called singular border-value problems for these equations. For generally nonlinear system of ordinary differential equations is here formulated so-called singular Cauchy-Nicoletti problem and proved sentences about the existence and uniqueness of the solution. Then, there is given biggish attention to some alternative of proof of the sentence about the existence of solution. In one of its part there is namely possible apply modern resources of mathematical analyses, which substitute conventional methods in analogous situations. Further there is stated more general boundary-value problem, which by special options it is possible to obtain in view singular Cauchy-Nicoletti problem from. It is summarized what conditions have to be fulfil to have such problem solution, or more precisely, only one solution. For lucidity text is divided into three chapters, the pivotal, third chapter, is divided into five below-chapters. First, there are stated using marks and reminded the definitions of using mathematical notions including using statements. Meanings of singularities in the theory of ordinary differential equations are then focal point of the second chapter. Third chapter includes basic and the most important part of this graduation theses, singular Cauchy-Nicoletti problem, at the same time with more generally border-value problem, which is possible the classical problem of this type to obtain from.Lastly, there are inserted examples, which illustrative sight theory. Last part of this text forms suplement. There is modified the prove of the sentences about existence solution for singular Cauchy-Nicoletti problem, that is here thinking like the special case of nonlinear border-value problem.

Keywords

Obyčejné diferenciální rovnice/ordinary differential equations, singularity/singularities, Cauchy-Nicolettiho úloha/Cauchy-Nicoletti problem, existence a jednoznačnost řešení/existence and uniqueness of solution, systémy obyčejných diferenciálních rovnic/systems of ordinary differential equations, absolutně spojitá funkce/absolutely continuous function.

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 14. 5. 2007

Thesis defence

• Date of defence: 13. 6. 2007
• Supervisor: doc. RNDr. Bedřich Půža, CSc.
• Reader: Mgr. Robert Hakl, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Mathematics