Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difúze s integrodiferenciálními operátory neceločíselného řádu

Bc. Tomáš LESNIAK

Master's thesis

Qualitative analysis of nonlinear equations of reaction-diffusion type with integro-differential operators of fractional order

Abstract:

We use numerical simulations to study reaction-diffusion problems with diffusion driven by fractional Laplacian. Fractional Laplacian appears, e.g., in mathematical models of population dynamics where the dispersion of individuals is due to the so called Levy flights rather than due to Brownian motion. Problems under consideration involve nonlinear reaction terms depending on parameters. Our aim is to understand the dependence of solutions on these parameters. For stationary problems, we perform numerical simulations and construct bifurcation diagrams using some simple algorithms of branch following. To handle the problems numerically, we use method of finite differences which we implemented in Matlab. We study problems in one or two spatial dimensions. In the case of two dimensions, our implementation of finite differences allows us to study these problems on quite general domains. We also study evolution problems. Here we use implicit Euler method combined with finite differences. In order to solve nonlinear evolution problems we use method of monotone iterations.

Abstract:

Pomocí numerických simulací studujeme reakčně-difuzní problémy s difuzí popsanou frakcionálním laplaciánem. Frakcionální laplacián se objevuje např. v matematických modelech populační dynamiky, kde je pohyb jedinců způsoben tzv. Levyho skoky, nikoliv Brownovým pohybem. Uvažované problémy zahrnují nelineární reakční členy závislé na parametrech. Naším cílem je pochopit závislost řešení na těchto parametrech. Pro stacionární problémy provádíme numerické simulace a konstruujeme bifurkační diagramy pomocí algoritmů automatického sledování větví řešení (tzv. "branch following"). Pro řešení úloh používáme metodu konečných diferencí, kterou jsme implementovali v prostředí Matlab. Problémy studujeme v jedné nebo dvou prostorových dimenzích. V případě dvou rozměrů nám naše implementace konečných diferencí umožňuje studovat tyto problémy na poměrně obecných oblastech. Studujeme také evoluční problémy, pro které používáme implicitní Eulerovu metodu kombinovanou s konečnými diferencemi. K řešení nelineárních evolučních úloh používáme metodu monotónních iterací.

Keywords

frakcionální laplacián, frakcionální diferenciální rovnice, stacionární úlohy, evoluční úlohy, numerické simulace, metoda konečných diferencí

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 7. 2023

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Prof. Ing. Petr Girg, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Master programme / field:
Mathematics and its Applications / Matematika a její aplikace