Asymptotické chování diferenciálních modelů

Mgr. Jana BURKOTOVÁ

Doctoral thesis

Asymptotic behaviour of differential models

Abstract:

V moderní vědě a technice vede matematický popis složitých fyzikálních procesů často k diferenciálních modelům. Proto je téma diferenciálních rovnic v zájmu vědců a odborníků již mnoho let. Tato práce je věnována existenci a asymptotickému chování řešení obyčejných diferenciálních rovnic se singularitou v nezávisle proměnné. Uvádíme dva různé singulární problémy, proto je práce rozdělena do dvou částí. První část se zaměřuje na studium nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu na neomezené oblasti $[0,\infty)$, které mohou mít časovou singularitu v počátku. Množina všech možných řešení je popsána v závislosti na jejich asymptotického chování v nekonečnu. Jsou odvozeny existenční výsledky a vlastnosti tlumených a únikových řešení. Prostřednictvím těchto výsledků je dokázána existence rostoucího řešení s limitou $u(\infty)=L$, homoklinického řešení, které hraje důležitou roli v aplikacích. Dále je zkoumána existence Kneserových řešení a jsou odvozeny asymptotické vlastnosti těchto řešení v rámci teorie regulárně měnících se funkcí. Analytické výsledky týkající se Kneserových řešení jsou znázorněny pomocí numerických simulací. Druhá část práce zkoumá analytické a numerické vlastnosti systémů lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s neintegrovatelnou nehomogenní složkou a časovou singularitou prvního druhu na kompaktním intervalu. Asymptotické chování řešení je analyzováno v singulárním bodě $t=0$. Důraz je kladen na stanovení struktury obecných lineárních dvoubodových okrajových podmínek zaručujících existenci a jednoznačnost řešení, která jsou spojitá na uzavřeném intervalu zahrnující singulární bod. Dále je studována kolokační metoda, která aproximuje analytické řešení spojitou po částech polynomiální funkcí, a je odvozen její řád konvergence. Teoretické výsledky jsou doloženy numerickými simulacemi.

Abstract:

In modern science and technology, the mathematical description of complex physical processes often leads to differential models. Therefore, the topic of differential equations has been of interest for scientists and engineers for many years. This thesis is devoted to the existence and asymptotic behaviour of solutions to ordinary differential equations with a singularity in the independent variable. Two different singular problems are presented, and therefore, the thesis is divided into two parts. The first part focusses on the study of second order nonlinear differential equations on unbounded domain $[0,\infty)$ which may have a time singularity at the origin. A set of all solutions is described according to their asymptotic behaviour at infinity. Existence results and properties of damped and escape solutions are derived. By means of these results, the existence of an increasing solution with $u(\infty)=L$, a homoclinic solution, playing an important role in applications is proved. Furthermore, the existence of Kneser solutions is investigated and asymptotic properties of such solutions and their first derivatives are derived in the framework of regularly varying functions. The analytical findings concerning Kneser solutions are illustrated by numerical simulations. The second part of the thesis investigates analytical and numerical properties of systems of linear ordinary differential equations with an unsmooth nonintegrable inhomogeneity and a time singularity of the first kind on a compact interval. The asymptotic behaviour of solutions at the singular point $t=0$ is analysed. The focus is on specifying the structure of general linear two-point boundary conditions guaranteeing the existence and uniqueness of solutions which are continuous on a closed interval including the singular point. Moreover, the collocation method which approximates the analytical solution by a continuous piecewise polynomial function is analysed, and its convergence order is derived. The theoretical results are supported by numerical simulations.

Keywords

obyčejné diferenciální rovnice, asymptotické vlastnosti, časová singularita, Kneserova řešení, neoscilatorická řešení, regulární variace, metoda kolokace, konvergence.

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 21. 9. 2015

Accessible from:: 21. 9. 2015

Thesis defence

• Supervisor: prof. RNDr. Irena Rachůnková, DrSc.

PALACKÝ UNIVERSITY OLOMOUC

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Mathematical Analysis