The Helmholtz mapping and its applications for second order ordinary differential equations

Mgr. Radka MALÍKOVÁ

Doctoral thesis

Abstract:

Helmholtzovy podmínky jsou nutné a postačující podmínky variačnosti soustavy diferenciálních rovnic. Geometricky to znamená, že odpovídající dynamickou formu (tj. source formu řádu n+1 variační posloupnosti) lze doplnit na uzavřenou formu. Zabýváme se obdobnou vlastností pro formy stupně 3 v mechanice (n=1). Variační objekty a jejich vlastnosti lze efektivně studovat pomocí metod diferenciální a algebraické geometrie. Využíváme strukturu variační posloupnosti na fibrovaných varietách. Eulerovo-Lagrangeovo zobrazení E_1 je dobře známo. Jádro Helmholtzova morfismu E_2 je tvořeno lokálně variačními dynamickými formami a charakterizují jej Helmholtzovy podmínky. Studujeme obraz zobrazení E_2 a jádro navazujícího morfismu E_3 a řešíme odpovídající lokální a globální inverzní variační problém, kdy 3-forma odpovídá systému diferenciálních rovnic. Hledáme zobecněné Helmholtzovy podmínky pro tuto situaci a ukážeme, že problém je úzce spojen s otázkou existence uzavřené 3-formy. Dosažené výsledky rozšiřují známé poznatky o Lagrangiánech a lokálně variačních dynamických formách a otevírají nové možnosti studování nevariačních rovnic pomocí uzavřených 3-forem. Je to obdoba extremálních úloh (variační rovnice), které jsou studovány pomocí uzavřených 2-forem (Cartanovy formy, symplektická geometrie).

Abstract:

Helmholtz conditions in the calculus of variations are necessary and sufficient conditions for a system of differential equations to be variational ``as it stands". It is known that this property geometrically means that the corresponding dynamical form (i.e., a source form of degree n+1 in the variational sequence) can be completed to a closed form. We study an analogous property for source forms of degree 3 in mechanics (n=1). Within the modern calculus of variations, variational objects and their properties can be effectively studied by methods of differential and algebraic geometry. We shall use the framework of the theory of variational sequences on fibred manifolds. The Euler-Lagrange morphism E_1 is well-understood. It is also known that the kernel of the Helmholtz morphism E_2 consists of locally variational dynamical forms, and is characterized by Helmholtz conditions. We study the image of E_2 and the kernel of the next morphism E_3, and solve the corresponding local and global inverse problem when a three-form comes from a dynamical form, i.e., corresponds to a system of differential equations. We find identities, that are a generalization of the Helmholtz conditions to this situation, and show that the problem is closely related to the question on existence of a closed three-form. The obtained results extend known results on Lagrangians and locally variational dynamical forms to general dynamical forms, and open a new possibility to study non-variational equations by means of closed three-forms, as a parallel to extremal problems (variational equations) that are studied by means of closed two-forms (Cartan forms, symplectic geometry).

Keywords

uzavřená 3-forma, dynamická forma, Eulerovo-Lagrangeovo zobrazení, Helmholtzovy podmínky, Helmholtzova forma, Helmholtzovo zobrazení, Lepageova forma, source forma, variační morfismus, variační posloupnost

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 29. 4. 2011

Accessible from:: 29. 4. 2011

Thesis defence

• Date of defence: 30. 5. 2011
• Supervisor: prof. RNDr. Olga Rossi, DrSc.

University of Ostrava

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Applied Mathematics / Applied Mathematics