Proximální dynamické systémy

Bc. Matěj Moravík

Master's thesis

Proximal dynamical systems

Abstract:

Podmnožinu $S$ fázového prostoru nazveme $\delta$-\textit{promíchanou} pokud pro každý pár bodů $x, y \in S, x \neq y$ máme, že $\liminf_{n \rightarrow \infty} d(f^{n}(x),f^{n}(y)) = 0$ a $\limsup_{n \rightarrow \infty} d(f^{n}(x),f^{n}(y)) > \delta$, kde $\delta > 0$ a $d$ je metrika na $X$, stejně tak $S$ se nazívá \textit{promíchaná} pokud pro každý pár bodů $x, y \in S$, $x \neq y$ máme, že \\$\liminf_{n \rightarrow \infty} d(f^{n}(x),f^{n}(y)) = 0$ a $\limsup_{n \rightarrow \infty} d(f^{n}(x),f^{n}(y)) > 0.$\\ V této práci ukážeme, že za vhodných podmínek, jmenovitě \textit{po částech syndetické transitivity} a \textit{proximality} existuje hustá $\delta$-promíchaná množina pro každé $\delta < \frac{diam(X)}{4}$, stejně tak dokážeme menší rozšíření vět týkající se proximálních dynamických systémů společně s důkazy některých vlastostí týkající \textit{totálně promíchaných množin} tj. systémů, kde celý fázový prostor je promíchaná množina.

Abstract:

A subset $S$ of phase space is called $\delta$-\textit{scrambled} if for every pair of points $x, y \in S$, $x \neq y$ we have $\liminf_{n \rightarrow \infty} d(f^{n}(x),f^{n}(y)) = 0$ and $\limsup_{n \rightarrow \infty} d(f^{n}(x),f^{n}(y)) > \delta$, where $\delta > 0$ and $d$ being metric on $X$, likewise $S$ is called \textit{scrambled} if for every pair of points $x, y \in S$, $x \neq y$ we have $\liminf_{n \rightarrow \infty} d(f^{n}(x),f^{n}(y)) = 0$ and $\limsup_{n \rightarrow \infty} d(f^{n}(x),f^{n}(y)) > 0.$\\ We are going to show that, under suitable conditions namely \textit{piecewise syndetic transitivity} and \textit{proximality} there exist dense $\delta$-scramble set for every $\delta < \frac{diam(X)}{4},$ together with mild generalization of theorems concerning proximal dynamical systems and proof some observation regarding \textit{totally scrambled sets} i.e. spaces where whole phase space is scrambled set.

Keywords

dynamický systém, proximalita, transitivita, senzitivita, dynamical system, proximality, transitivity, sensitivity

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 20. 5. 2024

Thesis defence

• Date of defence: 19. 6. 2024
• Supervisor: doc. RNDr. Michaela Mlíchová, Ph.D.
• Reader: doc. RNDr. Zdeněk Kočan, Ph.D.

Silesian University in Opava

Mathematical Institute in Opava

Master programme / field:
Mathematics / Mathematical Analysis